Работа по време на неплатен отпуск за отглеждане на дете до 8годишна възраст

Добър ден,
в момента ползвам годишната си платена отпуска след приключило майчинство, подадох също заявление за ползване на част от полагащия ми се неплатен отпуск за отглеждане на дете до 8год. възраст след платения отпуск в размер на малко повече от месец. Тези отпуски ги ползвам, защото подадох предизвестие за напускане, което по договор трябва да е 2 месеца по-рано. Напускам, защото не мога да се справя с отглеждането на детето ми ( самотна майка съм) с работното време, което работодателя ми предлага. Междувременно си намерих нова работа, която ще трябва да започна след изтичане на първия месец. Въпросът ми е : имам ли право да започна работа на новото място докато тече неплатената ми отпуска за отглеждане на дете преди да е изтекъл срока на предизвестието за напускане и с какъв договор ако имам? Благодаря преварително!